Введение
В мире программирования взаимодействие между человеком и компьютером осуществляется с помощью языков программирования. Однако в последнее время появились и стандартные средства, которые значительно облегчают работу разработчика. Одним из таких средств является пакет MathCAD, обладающий набором мощных и удобных инструментов для различных инженерных и математических расчетов. Созданные в пакете расчетные модели отличаются простотой и наглядностью, а их алгоритмы описываются в общепринятых терминах и обозначениях.
MathCAD – это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования. MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов.
В ходе исследования курсовой работы использовались возможности одной из таких систем – MathCAD.
Объект исследования – устройство для определения коэффициента трения.
Предмет исследования – система MathCAD.
Цели и задачи данной курсовой работы:
- расширение кругозора студентов по применению современных информационных технологий в практической деятельности по выбранной специальности;
- развитие навыков решения инженерных задач с использованием вычислительной техники и математического прикладного программного обеспечения
В курсовой работе ставятся задачи:
- при помощи системы MathCAD создать базовую модель;
- вычислить период и частоту свободных гармонических колебаний блока;
- на основании базовой модели вычислить и построить графики функции движения, скорости и ускорения груза в зависимости от времени;
- исследовать влияние варьируемого параметра на перемещение и скорость;
- выполнить аппроксимацию полученных значений в зависимости от варьируемого параметра.
1 Математическое моделирование технических объектов
1.1 Понятие математической модели их классификация и свойства
Математическая модель – математическое представление реальности, один из вариантов модели, как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе.
Процесс построения и изучения математических моделей называется математическим моделированием. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути, занимаются математическим моделированием: заменяют объект исследования его математической моделью и затем изучают последнюю.
Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки гипотез, идеализаций и упрощений. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект, построенный на этапе содержательного моделирования. Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты [1].
Содержательные и формальные модели. Практически все авторы, описывающие процесс математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция, содержательная модель. Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторы называют этот идеальный объект концептуальная модель, умозрительная модель или предмодель. При этом финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели.
Содержательная классификация моделей. В работе Пайерлса дана классификация математических моделей, используемых в физике и, шире, в естественных науках.
Модели первого типа – гипотезы «представляют собой пробное описание явления, причем автор либо верит в его возможность, либо считает даже его истинным». Модели-гипотезы в науке не могут быть доказаны раз и навсегда, можно лишь говорить об их опровержении или не опровержении в результате эксперимента.
Второй тип – феноменологическая модель, содержит механизм для описания явления, хотя этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте [1].
2 Алгоритмический анализ задачи
2.1 Постановка задачи
1. В пакете MathCAD создать базовую модель;
2. Вычислить период и частоту свободных гармонических колебаний блока;
3. На основании базовой модели вычислить функции перемещения, скорости и ускорения блока в зависимости от времени;
4. Построить графики функций перемещения, скорости и ускорения блока в зависимости от времени;
5. Исследовать влияние варьируемого параметра на перемещение и скорость груза;
6. Выполнить аппроксимацию полученных значений в зависимости от варьируемого параметра.
3 Описание модели в пакете MathCAD
3.1 Описание реализация базовой модели
Для реализации задачи необходимо ввести исходные данные (рисунок 3.1). После этого определим коэффициенты дифференциального уравнения и период собственных колебаний системы (рисунок 3.2).
Рисунок 3.1 – Исходные данные
Рисунок 3.2 – Частота и период колебания
На основании формулы (2.3) определили, что период колебаний Т=1.987.
После коэффициентов решаем дифференциальное уравнение (2.1) при помощи функции rkfixed, которая решает уравнения методом Рунге-Кутта.
Решение дифференциального уравнения представим в виде вектора Y, где нулевой столбец – это время, а первый столбец – движение, второй столбец – скорость (рисунок 3.3).
Заключение
В курсовой работе изучены и приведены теоретические вопросы, связанные с математическим моделированием, численным решением дифференциальных уравнений и аппроксимации экспериментальных данных.
Описаны средства пакета символьных вычислений MathCAD, предоставляемые для реализации математических моделей.
Во второй главе выполнена постановка задачи, приведена математическая модель, описывающая параметры перемещения и скорости.
На основании математической модели разработан алгоритм ее реализации в пакете MathCAD и алгоритм исследования модели при различных значениях варьируемого параметра.
В третьей главе описана реализация модели и ее исследования в системе MathCAD. Приведены полученные численные результаты и графические зависимости.
На основании проведенных исследований сделаны общие выводы и приведены полученные численные значения.
Поставленные задачи в курсовой работе решены в полном объеме.
Приложение А - Базовая модель
Исходные данные:
- расстояние между осями вала и блока, м
- начальное смещение, м
- расстояние от плоскости до центра тяжести блока, м
- коэффициент трения скольжения
- ускорение свободного падения, м/с^2
Приложение Б – Исследования
Проведем исследование влияния параметра X на перемещение и скорость:
- заданный диапазон изменения параметра X
- количество значений параметра
- исследуемые значения варьируемого параметра
