Исследование математической модели колебательного движения пары грузов соединённых пружиной в пакете MATHCAD

Содержание

Выдержка из работы

Введение

В мире программирования взаимодействие между человеком и компьютером осуществляется с помощью языков программирования. Однако в последнее время появились и стандартные средства, которые значительно облегчают работу разработчика. Одним из таких средств является пакет MathCAD, обладающий набором мощных и удобных инструментов для различных инженерных и математических расчетов. Созданные в пакете расчетные модели отличаются простотой и наглядностью, а их алгоритмы описываются в общепринятых терминах и обозначениях.

MathCAD – это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования. MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов.

В ходе исследования курсовой работы использовались возможности одной из таких систем – MathCAD.

Объект исследования – устройство для определения коэффициента трения.

Предмет исследования – система MathCAD.

Цели и задачи данной курсовой работы:

- расширение кругозора студентов по применению современных информационных технологий в практической деятельности по выбранной специальности;

- развитие навыков решения инженерных задач с использованием вычислительной техники и математического прикладного программного обеспечения

В курсовой работе ставятся задачи:

- при помощи системы MathCAD создать базовую модель;

- вычислить период и частоту свободных гармонических колебаний блока;

- на основании базовой модели вычислить и построить графики функции движения, скорости и ускорения груза в зависимости от времени;

- исследовать влияние варьируемого параметра на перемещение и скорость;

- выполнить аппроксимацию полученных значений в зависимости от варьируемого параметра.

1 Математическое моделирование технических объектов

1.1 Понятие математической модели их классификация и свойства

Математическая модель – математическое представление реальности, один из вариантов модели, как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе.

Процесс построения и изучения математических моделей называется математическим моделированием. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути, занимаются математическим моделированием: заменяют объект исследования его математической моделью и затем изучают последнюю.

Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки гипотез, идеализаций и упрощений. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект, построенный на этапе содержательного моделирования. Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты [1].

Содержательные и формальные модели. Практически все авторы, описывающие процесс математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция, содержательная модель. Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторы называют этот идеальный объект концептуальная модель, умозрительная модель или предмодель. При этом финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели.

Содержательная классификация моделей. В работе Пайерлса дана классификация математических моделей, используемых в физике и, шире, в естественных науках.

Модели первого типа – гипотезы «представляют собой пробное описание явления, причем автор либо верит в его возможность, либо считает даже его истинным». Модели-гипотезы в науке не могут быть доказаны раз и навсегда, можно лишь говорить об их опровержении или не опровержении в результате эксперимента.

Второй тип – феноменологическая модель, содержит механизм для описания явления, хотя этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте [1].

2 Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

1. В пакете MathCAD создать базовую модель;

2. Вычислить период и частоту свободных гармонических колебаний блока;

3. На основании базовой модели вычислить функции перемещения, скорости и ускорения блока в зависимости от времени;

4. Построить графики функций перемещения, скорости и ускорения блока в зависимости от времени;

5. Исследовать влияние варьируемого параметра на перемещение и скорость груза;

6. Выполнить аппроксимацию полученных значений в зависимости от варьируемого параметра.

3 Описание модели в пакете MathCAD

3.1 Описание реализация базовой модели

Для реализации задачи необходимо ввести исходные данные (рисунок 3.1). После этого определим коэффициенты дифференциального уравнения и период собственных колебаний системы (рисунок 3.2).

Рисунок 3.1 – Исходные данные

Рисунок 3.2 – Частота и период колебания

На основании формулы (2.3) определили, что период колебаний Т=1.987.

После коэффициентов решаем дифференциальное уравнение (2.1) при помощи функции rkfixed, которая решает уравнения методом Рунге-Кутта.

Решение дифференциального уравнения представим в виде вектора Y, где нулевой столбец – это время, а первый столбец – движение, второй столбец – скорость (рисунок 3.3).

Заключение

В курсовой работе изучены и приведены теоретические вопросы, связанные с математическим моделированием, численным решением дифференциальных уравнений и аппроксимации экспериментальных данных.

Описаны средства пакета символьных вычислений MathCAD, предоставляемые для реализации математических моделей.

Во второй главе выполнена постановка задачи, приведена математическая модель, описывающая параметры перемещения и скорости.

На основании математической модели разработан алгоритм ее реализации в пакете MathCAD и алгоритм исследования модели при различных значениях варьируемого параметра.

В третьей главе описана реализация модели и ее исследования в системе MathCAD. Приведены полученные численные результаты и графические зависимости.

На основании проведенных исследований сделаны общие выводы и приведены полученные численные значения.

Поставленные задачи в курсовой работе решены в полном объеме.

Приложение А - Базовая модель

Исходные данные:

- расстояние между осями вала и блока, м

- начальное смещение, м

- расстояние от плоскости до центра тяжести блока, м

- коэффициент трения скольжения

- ускорение свободного падения, м/с^2

Приложение Б – Исследования

Проведем исследование влияния параметра X на перемещение и скорость:

- заданный диапазон изменения параметра X

- количество значений параметра

- исследуемые значения варьируемого параметра

Список литературы

1 Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов 2-е изд., испр. и доп. В.П. Тарасик – Мн.: Дизайн-ПРО, 2004-604с.

2 Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие для ВУЗов. – М.:Наука, 1987. – 346 с.

3 Плис А.И. Сливина Н.А. MathCAD 14: Математический практикум. – М.: Наука, 2008. – 682 с.

4 Информатика: Практическое руководство к курсовому проектированию по одноименному курсу для студентов технических специальностей дневной и заочной форм обучения - Гомель: ГГТУ им. П.О. Сухого, 2005. – 32 с.