Математика

Современное понимание аксиоматического метода построения геометрии – результат длительного развития человеческой мысли.

Историю развития геометрии можно разделить на четыре основных периода, качественно отличающихся друг от друга. 

Окружающие нас предметы мы можем изучать по-разному. Например, о школьном здании можно сказать, что оно кирпичное (или деревянное), тёмно-красное (или другого цвета); ствол берёзы белый; листья на деревьях зелёные (или жёлтые). О чернильнице можем сказать, что она сделана из пластмассы, что она чёрная. Классная комната светлая, тёплая. Яблоко румяное, сочное, вкусное.

Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.

Отрезок, прямая, круг, шар - геометрические фигуры.

Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской.

Например, отрезок, прямоугольник - это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.

Геометрическая фигура  – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.  

Геометрическая фигура  – это произвольное множество точек на плоскости Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки - его сторонами.

Геометрическая фигура  – это произвольное множество точек на плоскости. Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.

Геометрическая фигура- множество точек на поверхности (зачастую на плоскости), которое образует конечное количество линий.

Окружность – это замкнутая кривая, состоящая из множества точек, расположенных в одной плоскости и равноудаленных от центра окружности. При этом центр находится в той же плоскости. Как правило, он обозначается буквой О.

Одной из важных задач геометрии является построение фигур с заданными свойствами при помощи чертежных инструментов. Мы будем рассматривать только такие построения, которые можно выполнить с помощью циркуля и линейки. Задачи на построение - это, пожалуй, самые древние математические задачи, они помогают лучше понять свойства геометрических фигур, способствуют развитию графических умений.

Многогранниками обычно называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемыми гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Диагональю многогранника называется отрезок прямой, соединяющей две вершины, не лежащие в одной грани.

Многогранник есть геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками - (гранями, пересекающимися по прямым линиям-рёбрам). Фигура сечения многогранника есть плоский многоугольник, сторонами которого являются линии пересечения заданной плоскости с плоскостями граней, а вершинами — точки пересечения рёбер многогранника с заданной плоскостью.

Многогранник - совокупность конечного числа плоских многоугольников. Призма – многогранная объемная фигура, которая состоит из двух одинаковых плоских многоугольников (основ), находящихся в двух параллельных плоскостях, а другие грани (боковые грани) – параллелограммы, что имеют общие стороны с этими многоугольниками,.В зависимости от основания призмы бывают: треугольными, четырёхугольными, 6-угольными.

Многогранником в трехмерном пространстве называется совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что

• каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым по этой стороне;

• от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя по очереди от одного многоугольника к другому, смежному с ним.

 

Многогранником в трехмерном пространстве называется совокупность конечного числа плоских многоугольников. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники, и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.

Эта точка называется центром шара, а данное расстояние называется радиусом шара.Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром. 

 

Цили́ндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Если плоскость основания цилиндра параллельна плоскости направляющей, то граница этого основания будет по форме совпадать с направляющей кривой.

Конусом называется тело, образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку - его вершину - с точками некоторого круга -основания конуса.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются его образующими.

Рассмотрим теоретико-множественный смысл количественного числа, используя понятие равномощности множеств

Возьмем какое – нибудь конечное множество А и отберем в один класс все равномощные ему множества. Если А – множество вершин треугольника, то в один класс с ним попадут множество сторон треугольника, множество букв в слове «мир» и т.д

Исходной точкой построения количественной теории целого неотрицательного числа является понятие конечного множества.

В обыденной жизни под конечным множеством мы понимаем такое множество, все элементы которого в принципе можно пересчитать, т.е. поставить во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел от 1 до какого-то числа n.

АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ МНОЖЕСТВА ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Z₀. Множество Z₀ = NÈ{0}. Нуль можно ввести, изменив I и IV аксиомы Пеано следующим образом:

I. В множестве Z₀ существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Называют его нулем и обозначают символом 0.

IV. Пусть множество М есть подмножество множества Z₀ и известно, что:

а) 0ÎМ; б) из того, что аÎМ , следует, что и а'ÎМ. Тогда множество М совпадает с множеством Z₀.

Аксиомы II и III остаются без изменения.

Теорема  Отношение равенства целых неотрицательных чисел обладает следующими свойствами:

1. Рефлексивность. Любое целое неотрицательное число равно самому себе, т.е. а = а.

2. Симметричность. Если число а равно числу в, то и число в равно числу а, т.е. если а = в, то в = а.

3. Транзитивность. Два числа, равные третьему, равны между собой, т.е. если а = в и в = с, то а = с.

 

Отношение "меньше" на множестве Z₀ обладает следую¬щими свойствами:

1. Для любого отличного от нуля числа а справедливо неравенство 0 < а.

2. Антирефлексивность. Любое целое неотрицательное число не всту¬пает в отношение "меньше" с самим собой, т.е. неверно, что а < а) ].

3. Асимметричность. Если а < в, то неверно, что в < а.

4. Транзитивность. Если а < в, в < с, то а < с.

 

Определение: Суммой целых неотрицательных чисел a и b называется целое неотрицательное число a + b, равное числу элементов в объединении непересекающихся множеств А и В, таких, что m(A) = a, m(B) = b

a + b – сумма, a и b – слагаемые.

Теорема: сумма любых двух целых неотрицательных чисел существует и она единственна.

 

Теорема существования и единственности суммы. Сумма двух целых неотрицательных чисел a и b всегда существует и она единственна (a + b = c – единственное число). 

Доказательство. Существование суммы следует из существования объединения двух конечных множеств. Докажем единственность. Пусть заданы два числа a, b∈N0. Данному числу а соответствует единственный класс равномощных конечных множеств, представителем которого будет множество А.