1. Метрика и метрические пространства. Примеры метрических пространств.
2. Сходимость в метрических пространствах. Понятие предела. Свойства пределов и сходящихся последовательностей. Непрерывность отображений в терминах сходящихся последовательностей.
3. Фундаментальные последовательности. Полные метрические пространства, их примеры.
4. Линейные пространства. Линейная независимость в линейных пространствах. Размерность линейных пространств. Базис в линейных конечномерных пространствах.
5. Понятие нормы. Нормированные пространства. Метрика в нормированных пространствах. Примеры нормированных пространств. Банаховы пространства.
6. Скалярное произведение в линейных пространствах. Евклидовы (предгильбертовы) пространства. Норма в евклидовых пространствах. Примеры евклидовых пространств.
7. Ортогональность в евклидовых пространствах. Свойства ортогональных систем. Ортогональное дополнение.
8. Процедура ортогонализации Грама-Шмидта.
9. Гильбертовы пространства. Примеры гильбертовых пространств. Полные и ортонормированные множества в гильбертовых пространствах, их свойства.
10. Обобщенный ряд Фурье. Ортонормированный базис в сепарабельных гильбертовых пространствах.
11. Тригонометрическая система функций, ее свойства. Ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме.
12. Многочлены Лежандра, их свойства. Формула Родрига для многочленов Лежандра. Разложение функций по многочленам Лежандра.
13. Понятия оператора. Линейные операторы. Ограниченные операторы. Норма линейного оператора. Операторы в конечномерных пространствах.
14. Собственные значения и собственные векторы (функции) операторов. Точечный и непрерывный спектр. Спектр операторов в конечномерных пространствах.
15. Сопряженные операторы, их свойства. Самосопряженные операторы. Унитарные операторы. Спектр самосопряженных и унитарных операторов.
16. Оператор Штурма – Лиувилля, его свойства. Задача Штурма – Лиувилля.
17. Основные уравнения математической физики. Метод разделения переменных для уравнений математической физики.
18. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя, их свойства. Ряд Фурье-Бесселя.
19. Интеграл Фурье и формула Фурье в комплексной форме.
20. Преобразование Фурье, его свойства и приложения.
21. Приложения преобразования Фурье
22. Z-преобразование. Свойства z-преобразования.
23. Разности k-го порядка. Разностные и рекуррентные уравнения. Приложение Z-преобразования для решения разностных и рекуррентных уравнений.
24. Основные задачи вариационного исчисления.
25. Функционал. Вариация функционала. Понятие экстремума функционала. Необходимое условие экстремума.
26. Простейшая вариационная задача. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Экстремали.
27. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера-Лагранжа.
28. Основные расширения простейшей вариационной задачи.
29. Вариационная задача с подвижными границами. Условие трансверсальности. Естественное граничное условие. Задача о навигации.
30. Вариационная задача на условный экстремум. Функция Лагранжа. Изопериметрическая задача.
