Введение

Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать с помощью функции одной переменной.

Функции одной переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе.

Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных.

Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных.

В данной курсовой работе рассмотрим основные понятия функции нескольких переменных, которые аналогичны понятиям функции одной переменной:

· производная;

· дифференцируемость;

· частные производные высших порядков;

· правила дифференцирования сложных функций.

Объект исследования – дифференцируемость отображения Rⁿ в R^m.

Субъект исследования –учащиеся ВУЗов и СУЗов, аспиранты, магистранты.

1 Определение векторной функции

Существует обобщение понятия функции нескольких переменных, когда в качестве значений отображения используются не числа, а векторы (или точки n-мерного пространства). Такое обобщение упрощает теоретические построения, связанные с понятиями непрерывности и дифференцируемости.

В общем случае мы называем функцией многих переменных (функцией нескольких переменных) отображение вида f:A→R^m, где A⊂Rⁿ , n > 1.

Если m=1, т.е. значением отображения является действительное число (скалярная величина), отображение называют скалярной функцией нескольких переменных.

Если же m>1, то указанное отображение называют векторной функцией нескольких переменных (или векторной функцией векторного аргумента).

Значением векторной функции является упорядоченный набор из m чисел, который можно интерпретировать двояко: как элемент линейного арифметического пространства или как элемент аффинного арифметического пространства.

Пример первого рода дает поле скоростей текущей жидкости, когда в каждой точке некоторой области в пространстве задана скорость частиц жидкости, протекающих через эту точку.

Пример второго рода дает перемещение частиц жидкости в пространстве: каждая частица жидкости перемещается из одной точки пространства в другую и результат перемещения можно рассматривать как отображение точек старого положения частиц жидкости в точки их нового положения.

Как и в случае скалярной функции нескольких переменных, множество D(f) = A⊂Rⁿ , на котором определена функция f: A⊂Rⁿ→R^m, называют областью определения (существования) функции f, а множество R(f) ={y∈ R^m: y = f(x), x∈D(f)} – областью значений (изменения) функции f.

2 Предел векторной функции

На векторные функции нескольких переменных естественным образом распространяется понятие предела, введенное для скалярных функций нескольких переменных.

Пусть заданы векторная функция нескольких переменных f:Rⁿ → R^m, множество A⊂ D(f) и предельная точка a множества A.

Точку b∈ R^m называют пределом функции f в точке a по множеству A, если для любой ε-окрестности U(b,ε) точки b существует такая проколотая δ-окрестность U(a, δ) точки a, что f(x) ∈ U(b, ε) при x ∈ U(a, δ)∩A.

Если A = Rⁿ , то говорят просто о пределе функции в точке a и обозначают его, опуская упоминание множества A:. Отметим, что если множество A включает некоторую проколотую окрестность точки a (в частности, если точка a внутренняя для A, то можно считать, что A = Rⁿ , поскольку такая замена не изменяет ситуацию.

Исследование предела векторной функции нескольких переменных можно свести к исследованию пределов ее координатных функций.

3 Частные производные

Пусть векторная функция нескольких переменных f:Rⁿ → R^m определена в δ-окрестности U(a, δ) точки a∈Rⁿ . Обозначим через ∆x_i такое приращение независимого переменного x_i в точке a, при котором точка a принадлежит U(a, δ). Для этого достаточно, чтобы выполнялось неравенство |∆x_i |<δ.

Тогда определена разность значений функции f, соответствующая приращению ∆x_i:

∆_if(a,∆x_i) = f(a₁,..., a_i−1, a_i + ∆x_i , a_i+1, ..., a_n) − f(a₁, ..., a_n) (3.1)

Эту разность называют частным приращением функции нескольких переменных f в точке a по независимому переменному x_i. Частное приращение обозначают также через ∆_if(a).

Если для функции нескольких переменных f: Rⁿ → R^m, определенной в окрестности точки a, существует предел отношения частного приращения функции по переменному x_i к приращению ∆x_i при ∆x_i → 0:

4 Дифференцируемые векторные функции

Пусть векторная функция нескольких переменных f:Rⁿ → R^m определена в некоторой окрестности точки x∈Rⁿ и ∆x=(∆x₁ ... ∆x_n)^т – такой вектор приращений независимых переменных, что точка x+∆x тоже принадлежит этой окрестности. В этом случае определено полное приращение функции f:

∆f(x)=f(x+∆x) − f(x) (4.1)

Полное приращение функции f(x)=(f₁(x)...f_m(x))^т в точке x можно выразить через полные приращения координатных функций f₁(x), f₂(x),..., f_m(x).

Кроме того, напомним, что .

Функцию f: Rⁿ → R^m, определенную в некоторой окрестности точки x, называют дифференцируемой в точке x, если ее полное приращение в окрестности этой точки можно представить в виде:

∆f(x) = A∙∆x + α(∆x)∙|∆x| (4.2)

где A – матрица типа m×n, элементы которой не зависят от ∆x, а функция α(∆x)является бесконечно малой при ∆x → 0.

Функцию f называют дифференцируемой в области X⊂Rⁿ, если она дифференцируема в каждой точке этой области.

При m = 1 функция f скалярная, и в равенстве (4.2) матрица A является строкой длины n, т.е. A=(a₁ a₂ . . . a_n), а функция α(∆x) – это бесконечно малая при ∆x→0 скалярная функция.

Следующая теорема сводит исследование дифференцируемости векторной функции к скалярному случаю.

5 Дифференциал векторной функции

Пусть векторная функция нескольких переменных f:Rⁿ → R^m определена в окрестности точки x = (x₁, . . . , x_n) и дифференцируема в этой точке.

Тогда, согласно следствию 4.1, полное приращение этой функции в точке x в зависимости от приращения ∆x=(∆x₁ . . . ∆x_n)^т независимых переменных можно представить в виде

 (5.1)

где – матрица Якоби функции f(x), а функция α(∆x) является бесконечно малой функцией при ∆x → 0.

Как и в случае скалярных функций, можно ввести следующее понятие. Линейную относительно ∆x часть  полного приращения функции f(x), дифференцируемой в точке x, называют (полным) дифференциалом функции f и обозначают через df(x).

Итак, дифференциал функции нескольких переменных, дифференцируемой в точке x, вычисляется по той же формуле, что и в случае функции одного переменного: df(x)=.

Правда, в многомерном случае  обозначает не производную функции, а ее матрицу Якоби.

Дифференциалы независимых переменных x_i , как и в случае скалярных функций, по определению равны приращениям этих переменных: dx_i = ∆x_i.

С учетом этого дифференциал функции f можно записать в виде

 (5.2)

Для полного приращения дифференцируемой функции нескольких переменных имеем равенство

6 Примеры

Пример 1. Найти полную производную функции , причем.

Решение:

Находим частные производные:

Кроме того .

Отсюда получаем:.

Пример 2. Для функции  найти частные производные второго порядка.

Решение:

Находим первые производные:

Находим вторые производные

Заключение

В данной работе рассмотрены основные теоретические сведения о дифференцируемости отображения.

Рассмотрены основные понятия функции нескольких переменных, которые аналогичны понятиям функции одной переменной, а именно производная функции нескольких переменных, дифференцируемость функций нескольких переменных, частные производные высших порядков.

Также в данной работе рассмотрены основные теоремы, применяемые при решении различных задач, формулы, основные свойства.

В курсовой работе приведены основные примеры решения задач по данной теме.