Введение
Интеграл – одно из основных понятий математического анализа возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным, например, находить длину пути, пройденного движущейся точкой, по её скорости. С другой стороны, измерять площади, объемы, работу сил за определенный промежуток времени и т.п.
Поверхностный интеграл – интеграл от функции заданной какой-либо поверхности. К поверхностному интегралу приводит, например, задача вычисления массы, распределенной плотностью . Для этого разбивают поверхность на части S1, S2, …, Sn и выбирают в каждой их них по точке Mi. Если эти части достаточно малы, то их массы приближенно равны.
К аналогичным пределам приводят и другие задачи физики. Эти пределы называются поверхностными интегралами первого рода от функции по поверхности S.
Данная работа посвящена рассмотрению основных теоретических сведений и исследованию решений типовых задач по теме «Поверхностные интегралы».
Поверхностный интеграл является таким же обобщением двойного интеграла, каким криволинейный интеграл является по отношению к определенному интегралу.
Поверхностные интегралы широко применяются в математическом анализе при вычислении площади поверхности заданной как в явном, так и неявном и параметрическом виде, для вычисления массы поверхности, а так же координат центра тяжести поверхности и моментов инерции тела относительно координатных осей и плоскостей.
Предполагается рассмотреть основные теоремы, применяемые при решении задач, формулы, связывающие поверхностные интегралы с криволинейными интегралами по контуру границы поверхности и тройной интеграл по пространственной области с поверхностным интегралом по границе этой области.
Объект исследования – поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода.
Субъект исследования – студенты, магистранты, аспиранты.
1 Ориентация поверхности
Гладкую поверхность будем называть двусторонней, если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не имеющему общих точек с ее границей, не меняет направления нормали к поверхности.
Поверхность называется односторонней, если существует замкнутый контур с указанными свойствами, при движении по которому нормаль меняет направление.
Пусть точка M лежит на двусторонней поверхности. Выберем направление вектора нормали в этой точке.
Пусть N – любая другая точка той же поверхности. Соединим точки M и N гладкой кривой γ и переместим вектор нормали из точки M в точку N вдоль кривой γ так, чтобы во время движения он оставался перпендикулярным поверхности, а его направление менялось непрерывно.
В результате будет задано направление нормали в точке N. Двигаясь от точки M к точке N по любой другой кривой γ, нельзя получить иное направления нормали в точке N. Действительно, в противном случае при движении от точки M к точке N по кривой γ и обратно по кривой γ', мы получили бы замкнутый контур, при движении вдоль которого нормаль меняет направление, что невозможно в силу предположения о двусторонности поверхности.
Таким образом, можно считать, что всем точкам двусторонней поверхности приписано определенное направление нормали.
Совокупность всех точек поверхности с приписанными к ним нормалями, непрерывно изменяющимися от точки к точке, называется определенной стороной поверхности.
Если изменить направления нормалей во всех точках на противоположные, и приписать каждой точке это новое направление нормали, будет получена вторая сторона поверхности.
Рассмотрим замкнутый контур, лежащий на выбранной стороне некоторой двусторонней поверхности. Зададим на этом контуре положительное направление обхода по следующему правилу.
2 Поверхностные интегралы
Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов.
Будем рассматривать интегралы двух типов: поверхностные интегралы I-го и II-го рода, их определения аналогичны соответствующим определениям для криволинейных интегралов, для определения поверхностного интеграла II-го рода на поверхности необходимо задать ориентацию.
Как и для криволинейных интегралов, существуют формулы, связывающие поверхностные интегралы I-го и II-го рода.
Однако в отличие от кривой, которая определяется заданием одного параметра, для описания поверхности необходимо уже два параметра, поэтому вычисление поверхностных интегралов сводится к вычислению двойного интеграла по области на плоскости (а не определенного интеграла Римана, как для криволинейных интегралов).
2.1 Поверхностный интеграл первого рода
В трехмерном пространстве с декартовой системой координат ОXYZ рассмотрим кусочно-гладкую поверхность Ω, ограниченную кусочно-гладкой кривой Г=Г(Ω).
В частном случае замкнутой поверхности (например, сферы) ее граница представляет собой пустое множество, а значит, также является кусочно-гладкой.
Пусть на поверхности Ω задана функция , где M=M(х,у,z) – точка на поверхности, а (х, у, z) – ее декартовы координаты.
Пусть функция непрерывна на поверхности Ω, т.е. в ранее введенных обозначениях .
Зададим разбиение T поверхности Ω с помощью произвольно проведенных кусочно-гладких кривых на части Ω1, Ω2, …, Ωn (рисунок 2.1).
В каждой из этих частей Ωk выберем по произвольной точке Mk с координатами и составим интегральную сумму:
3 Формула Остроградского
Формула Остроградского устанавливает связь между поверхностным интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.
Формула Остроградского имеет широкое применение, как в самом анализе, так и в его приложениях.
Выведем эту формулу для замкнутой пространственной области, граница которой пересекается с любой прямой, параллельной осям координат, не более чем в двух точках.
Назовем для краткости области простыми. При этом будем рассматривать внешнюю сторону поверхности, ограничивающей эту область. Предполагается, что поверхность гладкая или кусочно-гладкая.
Теорема 3.1. Пусть V простая замкнутая область, ограниченная поверхностью S и пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в данной области. Тогда имеет место следующая формула:
Формула (3.1) называется формулой Остроградского.
Доказательство. Пусть область G –проекция поверхности S (и области V) на плоскость Oxy (рисунок 3.1), а z=z1(x,y) и z=z2(x,y) - уравнения соответствующих частей поверхности S - нижней части S1 и верхней S2.
Преобразуем тройной интеграл в поверхностный интеграл. Для этого сведем его к повторному интегралу по формуле Ньютона-Лейбница выполним интегрирование по z.
4 Примеры
Пример 1. Найти массу поверхности S: x2 + y2 + z2 = 4, с поверхностной плотностью .
Решение. Зададим поверхность S в виде: и найдем dS:
Поверхность S представляет собой часть сферы радиуса 2 с центром в начале координат, вырезанную плоскостью . Найдем проекцию этой поверхности на координатную плоскость Оху. Линией пересечения сферы и плоскости является окружность , то есть х2 + у2 = 1.
Следовательно, проекцией S на плоскость Оху является круг единичного радиуса с центром в начале координат.
Вычислим массу поверхности в полярных координатах:
Заключение
В данной работе рассмотрены основные теоретические сведения о поверхностных интегралах.
Поверхностный интеграл является таким же обобщением двойного интеграла, каким криволинейный интеграл является по отношению к определенному интегралу.
Поверхностные интегралы широко применяются в математическом анализе при вычислении площади поверхности заданной как в явном, так и неявном и параметрическом виде, для вычисления массы поверхности, а так же координат центра тяжести поверхности и моментов инерции тела относительно координатных осей и плоскостей.
Также в данной работе рассмотрены основные теоремы, применяемые при решении задач, формулы, связывающие поверхностные интегралы с другими интегралами, основные свойства, а также применение интегралов при решении технических задач.
