Введение ………………………………………………………………………………..... 3
1 Постановка задачи ……………………………………………………………….......... 5
2 Методы аппроксимации в моделировании технических объектов ………………... 6
2.1 Обзор методов интерполяции и аппроксимации ………………………………... 6
2.2 Реализация методов аппроксимации в Scilab …………………………………… 11
3 Алгоритмический анализ задачи ……………………………………………………... 14
3.1 Анализ исходных и результирующих данных …………………………………... 14
3.2 Описание математической модели ………………………………………………. 15
3.3 Схема алгоритма решения задачи и ее описание ………………………….......... 16
4 Описание реализации задачи в Scilab ………………………………………………... 18
4.1 Описание реализации модели электрической цепи ……………………….......... 18
4.2 Описание исследований и выводы по полученным результатам ……………… 19
Заключение ………………………………………………………………………………. 23
Список использованных источников …………………………………………………... 24
Приложение А – Листинг документа Scilab …………………………………………... 25
Введение
В эпоху глобальной компьютеризации с развитием информационных технологий нерационально выполнять расчеты вручную или с применением примитивных средств автоматизации. С развитием не только межличностных, но и рыночных отношений уровень задач, решаемых человечеством, значительно повысился и требует использования более сложных методов вычислений, а также оперативности при решении поставленных вопросов.
В свою очередь персональный компьютер, при введении соответствующей программы, позволяет практически любой расчет выполнить значительно быстрее, нагляднее, точнее, на принципиально более высоком уровне. Кроме того, использование вычислительной техники позволяет значительно сократить затраты как временных, так и трудовых ресурсов.
Цель данной курсовой работы - исследование модели электрической цепи с переменной емкостью с последующим построением графиков заряда на конденсаторе.
В ходе работы с системой Scilab пользователь готовит так называемые документы. Они одновременно включают описания алгоритмов вычислений, программы управляющие работой систем, и результат вычислений. По внешнему виду тексты напоминают код обычной программы.
Scilab – это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования. Пакет Scilab создан разработчиками, как инструмент для работы инженеров–расчётчиков. Интегрированная среда Scilab предназначена для решения различного рода вычислительных задач, алгоритмы которых записываются в общепринятых математических терминах и обозначениях [1].
С помощью Scilab можно, например, готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты не только с качественными текстами, но и с легко осуществляемым набором самых сложных математических формул, графическим представлением результатов вычислений и многочисленными примерами [1].
Scilab был спроектирован так, чтобы быть открытой системой, где пользователи могут добавлять свои типы данных и операции над этими данными путем перегрузки.
Scilab содержит сотни математических функций с возможностью добавления новых, написанных на различных языках.
1 Постановка задачи
В курсовой работе необходимо выполнить:
1. С использованием системы Scilab рассчитать значения функции заряда на конденсаторе в заданной электрической схеме. Построить графики функции емкости конденсатора и функции заряда.
2. Исследовать влияние значений изменяемого параметра на вид функции заряда на конденсаторе.
3. Построить сводный график всех полученных функций заряда на одном поле.
4. Подобрать аналитическую аппроксимирующую функцию по результатам исследований пункта 2. Построить графически исходную и аппроксимирующую зависимости.
Электрическая цепь, приведенная на рисунке 1.1, состоит из линейных, неизменных во времени L и R и изменяющейся во времени емкости.
2 Методы аппроксимации в моделировании технических объектов
2.1 Обзор методов интерполяции и аппроксимации
Интерполяция – способ обработки экспериментальных данных, придуманный еще в 18 веке Ньютоном и Лагранжем.
Сущность метода в следующем: имеется таблица значений функции в точках (узлах). Чтобы найти значения в промежуточных точках, построим интерполяционный многочлен степени n , значения которого в узлах совпадают с табличными значениями.
Если число узлов на единицу больше степени многочлена, то его коэффициенты при степенях однозначно определяются из системы уравнений, и на всем интервале функция описывается одним многочленом. На практике однако не применяются высокие степени многочленов (обычно 1-2), а число узлов значительно больше, при этом на разных участках интервала действуют разные интерполяционные многочлены. Так вот, непосредственно интерполяцией называется процесс вычисления значений функции по интерполяционному многочлену в промежуточных точках. Высокие степени нельзя применять по тому, что при этом случайный разброс увеличивается и достоверность интерполяции снижается. Максимальная степень многочлена на единицу больше, чем число узлов.
Аппроксимация – тоже способ обработки экспериментальных данных, но принцип тут другой. Для приближения искомой функции тоже используется многочлен, но на его коэффициенты накладывается условие: чтобы сумма квадратов отклонений многочлена от экспериментальных данных в узлах была минимальна (это называется "метод наименьших квадратов"). Обычно используются низкие степени аппроксимирующего многочлена: первая или вторая.
Преимущество аппроксимации в том, что она сглаживает случайные ошибки в экспериментальных данных, в то время как интерполяция наоборот, подчеркивает ошибки в отдельных узлах. Поэтому при высокой степени помех или низкой точности измерительных приборов аппроксимация – наилучший способ [3].
Непрерывная аппроксимация. Если исходная функция f(x) задана аналитическим выражением, то при построении аппроксимирующей функции возможно требовать минимальности отклонения одной функции от другой на некотором непрерывном множестве точек, например, на отрезке. Такой вид аппроксимации называется непрерывным или интегральным [3].
3 Алгоритмический анализ задачи
3.1 Анализ исходных и результирующих данных
Исходные данные заданы в виде числовых значений параметров элементов электрической цепи и параметров исследований:
· L = 0.1 – значение индуктивности;
· C0 = 1.1∙10-5 – параметр функции емкости;
· R = 12 – исходное сопротивление, Ом;
· q0 = 10-6 – начальное значение заряда на конденсаторе;
· T = 0.045 – время исследования;
· ω=314 – частота изменения емкости;
· C0= 0.5∙10-5 – 3.5∙10-5 – варьируемый параметр и диапазон его изменения.
Для решения дифференциального уравнения второго порядка задана функция системы ode.
Для построения регрессии задан вид функции:. Вид аппроксимирующей зависимости datafit
Результирующие данные в ходе решения поставленной задачи:
· значения функции заряда и емкости на конденсаторе в заданной электрической схеме;
· построение графиков функции ёмкости конденсатора и функции заряда;
· построение графиков функции заряда на конденсаторе при различных значениях параметра функции ёмкости на одном поле;
· вектор минимальных значений функций заряда;
· вектор значений варьируемого параметра;
· график зависимости минимальных значений функций заряда от значений варьируемого параметра;
· коэффициенты функции регрессии;
· график функции регрессии и зависимость минимальных значений функций заряда от значений варьируемого параметра на одном поле.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В курсовой работе изучены и приведены теоретические вопросы, связанные с математическим моделированием, численным решением дифференциальных уравнений и аппроксимации экспериментальных данных.
Описаны средства пакета символьных вычислений Scilab, предоставляемые для реализации математических моделей.
Во второй главе выполнена постановка задачи, приведена математическая модель, описывающая модель электрической цепи.
На основании математической модели разработан алгоритм ее реализации в пакете Scilab и алгоритм исследования модели при различных значениях варьируемого параметра.
В третьей главе описана реализация модели и ее исследования в системе Scilab. Приведены полученные численные результаты и графические зависимости.
На основании проведенных исследований сделаны общие выводы и приведены полученные численные значения.
На сегодняшний день такое сочетание вычислительных технологий и теоретических навыков студентов является основополагающим курсом для всех электротехнических, энергетических, электронных и многих других специальностей ВУЗов, которые в будущем столкнутся с ещё более совершенными информационными системами.
В процессе выполнения и оформления работы были использованы такие пакеты как Scilab, Microsoft Word.
Поставленные задачи в курсовой работе решены в полном объеме.
Приложение А - Листинг документа Scilab
funcprot(0);
// Исходные данные
C0=1.1*10^(-5); // Параметр функции емкости
R=12; // Исходное сопротивление
q0=10^(-6); // Начальное значение заряда на конденсаторе
T=0.045; // Время исследования
L=0.1; // Значение индуктивности
omega=314; // Частота изменения емкости
// Функция изменения емкости во времени
deff('[y]=C(t)','y=C0*(1-0.05*cos(2*omega*t))'); //Функция, описывающая дифференциальное уравнение
function F=FF(t, x)
F=[-x(2)/(L*C(t))-(R/L)*x(1);x(1)];
endfunction
//Решаем дифференциальное уравнение при помощи функции ode
x0=[0;q0]; t0=0; //начальные параметры для решение диф. уравнения
t=0:0.0001:T; //промежуток исследования
Z=ode(x0,t0,t,FF);
//Вывод решения дифференциального уравнения
disp(' Численные значения дифференциального уравнения:'); Z=Z' // Выделяем столбецы матрицы
Q=Z(:,1); U=Z(:,2);
// Строим график полученной функции
figure(1);
square(0,-0.0001,T,0.0001);
plot(t,Q,'r');
xtitle('Функция ', 't', 'Q(t)'); xgrid; // Строим график полученной функции
figure(2);
plot(t,U,'r');
xtitle('Функция ', 't', 'U(t)'); xgrid; //Диапазон варьируемого параметра
C0n=0.5*10^(-5); C0k=3.5*10^(-5); dC=(C0k-C0n)/9;
CC0=C0n:dC:C0k;
CC0'
// Реализация опытов для варьируемого параметра
i=1;
while i<=10
// Функция изменения емкости во времени
deff('[y]=C(t)','y=CC0(i)*(1-0.05*cos(2*omega*t))'); //Функция, описывающая дифференциальное уравнение
function F=FF(t, x)
F=[-x(2)/(L*C(t))-(R/L)*x(1);x(1)];
endfunction
