Введение
С внедрением вычислительной техники значительно упростился трудоемкий процесс математических расчетов. Появились специальные системы математического программирования, которые позволяют проводить, как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, с высокой степенью точности.
Наиболее удобные и простые в использовании являются системы MathCAD, которые позволяют производить численные и аналитические вычисления на общепринятом языке математических формул и графиков, т.е. не надо изучать дополнительные функции, что значительно упрощает диалог систем с пользователем. Так же системы имеют удобные и красочные графические оформления, что очень удобно и их по праву можно назвать самыми современными, универсальными и массовыми математическими системами. Более новые версии систем MathCAD позволяют готовить электронные уроки и книги с использованием новейших средств мультимедиа, включая гипертекстовые и гипермедиа-ссылки, изысканные графики (в том числе анимационные), фрагменты видеофильмов и звуковое сопровождение.
В ходе исследования курсовой работы использовались возможности одной из таких систем – MathCAD.
Объект исследования – устройство для определения коэффициента трения.
Цели и задачи данной курсовой работы:
- расширение кругозора студентов по применению современных информационных технологий в конкретной практической деятельности по выбранной специальности;
- развитие навыков решения инженерных задач с использованием вычислительной техники и математического прикладного программного обеспечения
- при помощи системы MathCAD создать базовую модель;
- исследовать влияние варьируемого параметра на перемещение и скорость;
- выполнить аппроксимацию полученных значений в зависимости от варьируемого параметра.
1 Математическое моделирование технических объектов
1.1 Понятие математической модели, их классификация и свойства
Моделирование представляет собой процесс замещение объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследование на модели с целью получения необходимой информации об объекте.
Математическое моделирование позволяет посредствам математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта [1, стр. 3].
Применение математического моделирования при проектировании в большинстве случаев позволяет отказаться от физического моделирования, значительно сократив объемы испытаний. Также математическим моделированием называют процесс формирования математической модели для анализа и синтеза. В качестве математических объектов выступают числа, переменные, множества, векторы, матрицы и так далее.
В конструкторской практике под математическим моделированием обычно понимается процесс построения математической модели.
Модель – это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта.
Математическая модель – это совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства технического объекта.
На различных этапах и стадиях проектирования сложной технической системы используют различные математические модели.
Математические модели могут представлять собой системы дифференциальных уравнений, системы алгебраических уравнений, простые алгебраические выражения, бинарные отношения, матрицы и так далее. Уравнение математической модели связывают физические величины.
К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности.
Модель считается адекватной, если отражаются исследуемые свойства с приемлемой точностью [1, стр. 6].
2 Алгоритмический анализ задачи
2.1 Постановка задачи
1. В пакете MathCAD создать базовую модель;
2. Вычислить период и частоту свободных гармонических колебаний блока;
3. На основании базовой модели вычислить функции перемещения, скорости и ускорения блока в зависимости от времени;
4. Построить графики функций перемещения, скорости и ускорения блока в зависимости от времени;
5. Исследовать влияние варьируемого параметра на перемещение и скорость груза;
6. Выполнить аппроксимацию полученных значений в зависимости от варьируемого параметра.
3 Описание модели в пакете MathCad
3.1 Описание реализация базовой модели
Для реализации задачи необходимо ввести исходные данные (приложение А). После этого определим коэффициенты дифференциального уравнения и период собственных колебаний системы.
В результате получили следующие значения: k=5.461, T=1.15. После определения коэффициентов, решаем дифференциальное уравнение (2.1) при помощи функции rkfixed, которая решает уравнения методом Рунге-Кутта. Решение дифференциального уравнения представим в виде вектора Y, где нулевой столбец – это время, а первый столбец – движение, второй столбец – скорость (рисунок 3.1).
Рисунок 3.1 – Решение дифференциального уравнения (2.1)
Найденные функции, описывающие перемещение, скорость и ускорение, изобразим на графиках (рисунок 3.2 – 3.4).
Рисунок 3.2 – График функции перемещения
Заключение
В курсовой работе изучены и приведены теоретические вопросы, связанные с математическим моделированием, численным решением дифференциальных уравнений и аппроксимацией экспериментальных данных. Описаны средства пакета символьных вычислений MathCAD, предоставляемые для реализации математических моделей.
Во второй главе приведена постановка задачи и построена математическая модель, описывающая параметры перемещения и скорости. На основании математической модели разработан алгоритм ее реализации в пакете MathCAD и алгоритм исследования модели при различных значениях варьируемого параметра.
В третьей главе описана реализация модели и ее исследования в системе MathCAD. Приведены полученные численные результаты и графические зависимости.
На основании проведенных исследований сделаны общие выводы и приведены полученные численные значения.
Поставленные задачи в курсовой работе решены в полном объеме.
Приложение А. Базовая модель
Приложение Б. Исследования
