Введение
Различные элементы математического моделирования применялись одновременно с появлением точных наук. С данным фактом связано то, что часть из них носят имена корифеев науки, например, Ньютона и Эйлера, а слово «алгоритм» происходит от имени средневекового арабского ученого Аль-Хорезми [1].
Второе «рождение» этой методологии пришлось на конец 40 х — начала 50 х годов XX века и было обусловлено, по крайней мере, двумя причинами [2]:
1) появлением компьютеров, хотя и скромных по нынешним меркам, но тем не менее избавивших ученых от огромной по объему рутинной вычислительной работы
2) беспрецедентным социальным заказом на выполнение национальных программ СССР и США по созданию ракетно-ядерного щита, которые не могли быть реализованы традиционными методами.
С помощью математического моделирования данная задача была решена. На первом этапе ядерные взрывы и полеты ракет моделировались посредством ЭВМ, а уже впоследствии были реализованы на практике.
Данный факт способствовал дальнейшему развитию методологии моделирования, без которого в настоящее время не реализуется ни одни крупномасштабный технологический, экологический или экономический проект.
Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, больше не поддаются исследованию обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над ними долог, дорог, часто либо опасен, либо попросту невозможен, так как многие из этих систем существуют в «единственном экземпляре».
Цена ошибок и просчетов в обращении с ними недопустимо высока. Поэтому математическое моделирование является неизбежной составляющей научно-технического прогресса, что является подтверждением актуальности выбранной темы.
Целью данного реферата является изучение истории и основных понятий математического моделирования.
Для достижения поставленной цели были поставлены следующие задачи:
− Описать основные характерные черты моделирования;
− Привести историю математического моделирования с указанием повлиявших на ее развитие авторов;
− Рассмотреть классификацию моделей математического моделирования.
1. Основные характерные черты моделирования
Проникновение математических методов в самые разнообразные и порой неожиданные сферы человеческой деятельности предполагает возможность использования новых, обычно весьма плодотворных средств исследования.
Рост математической культуры специалистов смежных областей приводит к тому, что изучение общетеоретических положений и методов расчета уже не сопровождается серьезными трудностями. В то же время на практике оказалось, что одних математических знаний недостаточно для решения той или иной прикладной задачи–перевода исходной постановки задачи на математический язык [3].
Это вопрос овладения искусством математического моделирования. Холл (Hall, 1963) сказал, что цель Прикладной математики состоит в том, чтобы сделать математический смысл реальности. С другой стороны, инженеру-практику, наверное, важнее получить конкретные ответы на определенные вопросы: выдержит ли его мост ожидаемую нагрузку, хватит ли закупленного угля до конца отопительного сезона, лопнут ли лопатки турбин.
В практике математического моделирования отправной точкой часто является эмпирическая ситуация, в которой исследователи ставят вопросы, чтобы найти ответы.
Прежде всего, необходимо установить, в чем именно заключается задача. Часто (но не всегда) параллельно этому этапу постановки проблемы идет процесс выявления основных или существенных признаков явления.
В частности, для физических явлений этот процесс планирования или идеализации играет важную роль, поскольку в реальных явлениях задействовано много процессов, и они очень сложны.
Некоторые особенности этого явления важны, другие незначительны. Возьмем, к примеру, движение маятника, образованного тяжелыми грузами, перемешанными на концах нитей. В этом случае регулярность колебаний маятника незаменима, а то, что нить белая, а груз черный-нет.
После того, как существенные факторы были определены, следующим шагом является перевод этих факторов в математические понятия и количественные языки и предположение о связи между этими величинами. После построения модели вам нужно ее проверить. Валидность модели обычно до некоторой степени проверяется во время постановки задачи.
Уравнения или другие математические соотношения, сформулированные в модели, всегда сравниваются с исходной ситуацией. Существует несколько аспектов проверки достоверности. Во - первых, сама математическая основа модели (которая является ее сущностью) должна быть последовательной и подчиняться всем обычным законам математической логики. Во-вторых, валидность модели зависит от умения правильно описать исходную ситуацию. Вы можете создать модель, которая отражает реальность, но не саму реальность.
2. История математического моделирования и личности, влиявшие на его развитие
Слово «модель» происходит от латинского modulus‒ «мера, аналог, образец». Это означает систему, в которой исследования могут предоставить информацию о других, более сложных системах.
Моделирование, то есть построение модели, - это способ получения упрощенного представления о реальном устройстве или природном явлении процесса, изучаемого в природе или технике.
Моделирование как метод познания использовалось человечеством на заре своего развития как интуитивно, так и сознательно. Например, на стенах древнего храма предков южноамериканских индейцев исследователи обнаружили своеобразную графическую модель Вселенной. Теория моделирования началась в Средние века.
Выдающаяся роль в создании этого учения принадлежит гению эпохи Возрождения Леонардо да Винчи (1452-1519). Блестящий русский полководец перед нападением на Измаильскую крепость (1730-1800) обучал своих солдат по образцу стен Измаильской крепости, специально построенной в тылу.
Знаменитый русский механик-самоучка (1735-1818) создал модель одноарочного деревянного моста через Неву, а также мост из множества металлических моделей. Они были полностью технически обоснованы и получили высокую оценку Л. Эйлера и Д. Бернулли. К сожалению, эти мосты не были построены.
Широко известны работы по моделированию систем управления. В частности, для проверки новых методов математического моделирования была создана математическая модель Синопского сражения, Последнего сражения эпохи парусного флота. 18-30 июля 1853 года в битве у мыса Синоп русский флот под командованием адмирала (1802-1855) уничтожил главные силы турецкого флота.
Проверка с помощью компьютерного моделирования подтвердило, что Нахимов действовал обдумано. Он правильно расположил корабли русского флота, нанеся первый удар, и единственным спасением турок могло стать отступление. Они не отступили и потерпели поражение.
Сложность и громоздкость технических объектов, которые могут быть изучены методом моделирования, практически безграничны. Во второй половине двадцатого века все крупные конструктивные работы испытывались на моделях. Речь идет о таких моделях, как плотины, каналы, крупные электростанции (Братская, Красноярская ГЭС), системы дальней передачи, образцы военных систем.
Под математической моделью понимаются основные законы и отношения, присущие исследуемому явлению и представленные математической формулой или уравнением, совокупностью правил или правил, выраженных в математической форме. В современной науке математические модели являются одним из основных инструментов распознавания человеком явлений окружающего мира.
3. Классификация моделей
Использование моделирования на эмпирическом и теоретическом уровне исследования приводит к разделению (условному) модели на материальную и идеальную [6].
Материальное моделирование-это моделирование, при котором исследование объекта осуществляется с использованием его материального аналога, воспроизводящего основные физические, геометрические, динамические и функциональные свойства этого объекта.
Идеальное моделирование основано не на материализованной аналогии между объектом и моделью, а скорее на аналогии идеала, который можно рассматривать, и всегда основано на материализованной аналогии между объектом и моделью.
Основными видами моделирования материалов являются натурное и аналоговое.
Натурное моделирование-это моделирование, при котором реальный объект совпадает с его укрупненным или уменьшенным материальным аналогом, что позволяет исследовать путем последующего переноса свойств изучаемых процессов и явлений с модели на объект на основе аналогичных теорий.
Аналоговое моделирование-это моделирование, основанное на аналогии процессов и явлений, имеющих различные физические свойства, но формально описываемых одним и тем же способом (одними и теми же математическими соотношениями, логическими и структурными схемами).
Фактически процесс изучения модели такого типа основан на наборе полей, в которых вместо реального объекта используется его физическая или аналоговая модель.
Примерами натурного моделирования являются модели архитектуры, модели кораблей в судостроении.
Именно в натурных моделях кораблей середины XIX века моделирование стало развиваться как научная дисциплина, а сама модель активно использовалась при проектировании нового технического оборудования.
Середина XIX века связана в судостроении с окончанием эпохи парусных судов и началом эпохи паровых флотов.
Оказалось, что использование паровых двигателей потребовало радикального изменения конструкции корабля. Прежде всего это поняли строители Боевых кораблей.
Как известно, в обстановке морских сражений жизнь корабля во многом зависит от его маневренности и скорости. Для парусных судов в результате многовекового опыта было разработано оптимальное сочетание Формы корпуса и паруса.
Для судов с паровым двигателем скорость определяется главным образом мощностью парового двигателя.
4. Свойства моделей и правила их построения
Во-первых, хорошая модель очень информативна, и эта информация представлена в весьма сжатом виде [7].
Во-вторых, модель иерархична, существуют модели более высокого уровня (например, модели систем управления) и модели более низкого уровня
В-третьих, сама модель уточняется и модифицируется в процессе моделирования.
В-четвертых, модель может служить критерием идеализации различных форм деятельности: управления, планирования, принятия решений, прогнозирования. Например, в адаптивных (саморегулирующихся) системах управления техническими объектами реализуется принцип управления по эталонной модели.
Основным недостатком метода моделирования является то, что при неправильном моделировании можно получить результаты, не связанные с изучаемыми свойствами системы или неверно отражающие свойства реальной системы. На это есть объективная причина: модель (не всегда точная) отражает только определенные характеристики реального объекта, но не все. Тем не менее, метод моделирования имеет больше преимуществ, чем недостатков.
Можно выделить следующие преимущества модели:
1. Модель экономична, так как экономит время в процессе исследования или проектирования технических объектов, снижает затраты и материальные ресурсы.
2. Модель практична и всегда построена таким образом, который проще и удобнее для исследования, чем исходный объект. Модели могут быть использованы для экспериментов, которые слишком дороги или опасны для персонала или окружающей среды, чтобы работать на реальных объектах.
3. Некоторые явления можно изучать только с помощью их моделей. Например, полет летательного аппарата во время развития кризисной ситуации на борту в результате ядерного взрыва, выхода на орбиту космического аппарата, грозовых разрядов, выхода из строя отдельных функциональных подсистем.
4. Модель воспроизводит только основные и наиболее важные для данного исследования характеристики исследуемой системы. Также исследуемая система(объект)может иметь несколько (множество) моделей, каждая из которых воспроизводит (имитирует) определенный набор характеристик и характеристик. например, при проектировании нового технического устройства можно строить и использовать модели, описывающие динамические (упрощенные, скоростные) свойства и характеристики. В то же время для определения прочностных, изгибных и крутильных свойств потребуются совершенно другие модели.
5. Используя модель, можно выявить механизм формирования исследуемых характеристик системы, научиться прогнозировать эти характеристики и целенаправленно изменять их в нужном направлении.
Заключение
Метод математического моделирования, количественного описания изучаемых явлений на языке математики, широко используется для изучения всех видов явлений природы и общественной жизни.
Этот путь познания сочетает в себе преимущества как теории, так и эксперимента. С одной стороны, работая не с самим объектом, а с его моделью, можно исследовать его свойства и поведение относительно быстро и без значительных затрат, в возможной ситуации (преимущество теории). С другой стороны, вычислительные эксперименты с использованием объектных моделей позволяют детально и глубоко изучать объекты с достаточной полнотой, что не может быть достигнуто чисто теоретическими исследованиями (преимущество экспериментов), опирающимися на мощь современных вычислительных методов и вычислительной техники.
История методологии математического моделирования убедительна: она может и должна стать интеллектуальным ядром информационных технологий, всего процесса информатизации общества.
